Question

P是雙曲線

x2

4

-

y2

12

=1右支上一點(diǎn)，F(xiàn)是雙曲線的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若

OM

=

1

2

（

OP

+

OF

），且|

OM

|=4，則點(diǎn)P到雙曲線右準(zhǔn)線的距離是

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)a²-b²=c²求出左焦點(diǎn)F的坐標(biāo)，根據(jù)雙曲線的準(zhǔn)線公式x=

a2

c

求出右準(zhǔn)線方程，然后設(shè)P的坐標(biāo)（x，y），代入到雙曲線方程，由

OM

=

1

2

（

OP

+

OF

）得到M為PF的中點(diǎn)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出M的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出 |

OM

|，最后聯(lián)立方程得到x，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出P到準(zhǔn)線方程的距離即可．

解答：解：由雙曲線

x2

4

-

y2

12

=1得a=2，b=2

3

，
根據(jù)勾股定理得c=4，則右準(zhǔn)線為 x=1，右焦點(diǎn)F（4，0），
設(shè)P（x，y），P在雙曲線上，
∴

x2

4

-

y2

12

=1①
由點(diǎn)M滿足

OM

=

1

2

（

OP

+

OF

），則得M為PF中點(diǎn)，
根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得M（

x+4

2

，

y

2

），
且|

OM

|=4
∴

(4+x)2

4

+

y2

4

=16②
由①②解得：x=3．
右準(zhǔn)線為 x=1，則點(diǎn)P到雙曲線右準(zhǔn)線的距離是 3-1=2．
故答案為2．

點(diǎn)評：本題是一道綜合題，考查學(xué)生掌握雙曲線的一些簡單性質(zhì)，會利用兩點(diǎn)間的距離公式及中點(diǎn)坐標(biāo)公式、點(diǎn)到直線的距離公式化簡求值，同時也考查學(xué)生掌握向量的運(yùn)用法則及向量模的求法，做題時要求學(xué)生知識面要寬，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題．