Question

9、數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和記為S_n，a₁=1，a_n+1=2S_n+1（n≥1），求{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析：由a_n+1=2S_n+1（n≥1），可得a_n=2S_n-1+1，將兩個(gè)式子相減可導(dǎo)出相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系式，從而判斷出數(shù)列為等比數(shù)列，將所得條件代入等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可求出{a_n}的通項(xiàng)公式．但需注意的是a₂與a₁是單獨(dú)求證的．并不是由兩式相減直接得出的．

解答：解：由a_n+1=2S_n+1（n≥1）可得a_n=2S_n-1+1，
兩式相減得a_n+1-a_n=2（S_n-S_n-1）=2a_n（n≥2），∴a_n+1=3a_n（n≥2），
∵a₂=2S₁+1=3=3a₁，
所以數(shù)列 {a_n}是等比數(shù)列，且公比為3，首項(xiàng)為1，由等比數(shù)列通項(xiàng)公式得 a_n=3^n-1
故所求通項(xiàng) a_n=3^n-1

點(diǎn)評(píng)：本題主要借助前N項(xiàng)和與項(xiàng)的關(guān)系考查數(shù)列遞推公式的同時(shí)，也檢測(cè)了學(xué)生對(duì)等比數(shù)列定義，通項(xiàng)公式等基礎(chǔ)知識(shí)的掌握，在數(shù)列求解過(guò)程中對(duì)于數(shù)列項(xiàng)的下角標(biāo)的把握是容易忽略的地方，應(yīng)時(shí)刻注意．