Question

（2013•天津模擬）直線l：

x=a+4t y=-1-2t

（t為參數(shù)），圓C：ρ=2

2

cos(θ+

π

4

)（極軸與x軸的非負半軸重合，且單位長度相同），若直線l被圓C截得的弦長為

6 5

5

，則實數(shù)a的值為

0或2

．

Answer 1

分析：化直線的參數(shù)方程為普通方程，化圓的極坐標方程為一般方程，由直線l被圓C截得的弦長為

6 5

5

轉化為圓心到直線的距離，由點到直線的距離公式求解實數(shù)a的值．

解答：解：直線l：

x=a+4t① y=-1-2t②

，由②得，t=-

y

2

-

1

2

，代入①得直線l的方程為x+2y+（2-a）=0，
由ρ=2

2

cos(θ+

π

4

)，得ρ=2

2

(cos

π

4

cosθ-sin

π

4

sinθ)=2

2

(

2

2

cosθ-

2

2

sinθ)=2cosθ-2sinθ．
ρ²=2ρcosθ-2ρsinθ，所以圓的方程為x²+y²=2x-2y，即（x-1）²+（y+1）²=2，
所以圓心為（1，-1），半徑r=

2

．若直線l被圓C截得的弦長為

6 5

5

，
則圓心到直線的距離d=

r2-( 3 5 5 )2

=

2- 9 5

=

5

5

，
又d=

|1-2+2-a|

1+22

=

|1-a|

5

=

5

5

，即|1-a|=1，
解得a=0或a=2．
故答案為0或2．

點評：本題考查了參數(shù)方程化普通方程，考查了極坐標和直角坐標的互化，訓練了點到直線的距離公式，是中檔題．