Question

已知函數(shù)f(x)=x3-

1

2

x2+bx+c，且f（x）在x=1處取得極值．
（1）求b的值；
（2）若當(dāng)x∈[-1，2]時，f（x）＜c²恒成立，求c的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意得f（x）在x=1處取得極值所以f′（1）=3-1+b=0所以b=-2．
（2）把原不等式等價轉(zhuǎn)化為：x3-

1

2

x2-2x＜c2-c在[-1，2]上恒成立，設(shè)g（x）=x3-

1

2

x2-2x則g′（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1），利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值即g（x）的最大值為g（2）=2，則有c²-c＞2，解得：c＞2或c＜-1．

解答：解：（1）由題意得f′（x）=3x²-x+b
∵f（x）在x=1處取得極值
∴f′（1）=3-1+b=0
∴b=-2
所以b的值是-2．
（2）由（1）得f′（x）=3x²-x-2
∵當(dāng)x∈[-1，2]時，f（x）＜c²恒成立
∴x3-

1

2

x2-2x+c＜c2在[-1，2]上恒成立，
即x3-

1

2

x2-2x＜c2-c在[-1，2]上恒成立．
設(shè)g（x）=x3-

1

2

x2-2x則g′（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1）
當(dāng)x∈（-1，-

2

3

）時，g′（x）＞0
當(dāng)x∈（-

2

3

，1）時，g′（x）＜0
當(dāng)x∈（1，2）時，g′（x）＞0
所以，當(dāng)x=-

2

3

時，g（x）取得極大值為g（-

2

3

）=

22

27

又因?yàn)間（2）=2
所以在[-1，2]上g（x）的最大值為g（2）=2
則有c²-c＞2，解得：c＞2或c＜-1
故c的取值范圍為（-∞，-1）∪（2，+∞）．

點(diǎn)評：解決此類問題的關(guān)鍵是將不等式在某個區(qū)間上恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在該區(qū)間上的最值問題，分離參數(shù)是解決此類問題較好的一種方法．