Question

設(shè)數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足：當(dāng) n=2k-1（k∈N^*）時(shí)，a_n=n；當(dāng)n=2k（k∈N^*）時(shí)，a_n=a_k；記sn=a1+a2+a3+…+a2n-1+a2n
（1）求s₃；
（2）證明：s_n=4^n-1+s_n-1（n≥2）
（3）證明：

1

s1

+

1

s2

+

1

s3

+…+

1

sn

＜1-

1

4n

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意中S_n的表達(dá)式寫(xiě)出S₃，即s₃=a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆+a₇+a₈，進(jìn)而由數(shù)列的通項(xiàng)公式可得可得各項(xiàng)的值，相加可得答案；
（2）將S_n分解為奇數(shù)項(xiàng)的和與偶數(shù)項(xiàng)和兩部分，分別化簡(jiǎn)計(jì)算可得S_n=[1+3+…+(2n-1)]+(a2+a4+a6+…+a2n），前一部分為等比數(shù)列前n項(xiàng)的和，代入計(jì)算可得答案；
（3）由（2）知s_n-s_n-1=4^n-1，依次可得s_n-1-s_n-2=4^n-2，s_n-2-s_n-3=4^n-3 …s₂-s₁=4，將各式相加可得s_n=2+

4(1-4n-1)

1-4

=

1

3

(2+4n），進(jìn)而對(duì)其求倒數(shù)可得

1

sn

=

3

4n+2

＜

3

4n

，即將

1

Sn

放大為

3

4n

，由等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式計(jì)算可以得到證明．

解答：解：（1）s₃=a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆+a₇+a₈=a₁+a₁+a₃+a₁+a₅+a₃+a₇+a₁
=4a₁+2a₃+a₅+a₇=4×1+2×3+5+7=22…（4分）
（2）證明：sn=a1+a2+…+a2n-1+a2n
=(a1+a3+…+a2n-1)+(a2+a4+…+a2n）
=[1+3+…+(2n-1)]+(a2+a4+a6+…+a2n）
=4n-1+(a1+a2+a3+…+a2n-1）
=4^n-1+s_n-1…（9分）
（3）由（2）知s_n-s_n-1=4^n-1，于是有：s_n-1-s_n-2=4^n-2，s_n-2-s_n-3=4^n-3 …s₂-s₁=4
上述各式相加得：s_n-s₁=4+4²+…+4^n-1
s_n=2+

4(1-4n-1)

1-4

=

1

3

(2+4n），
∴

1

sn

=

3

4n+2

＜

3

4n

∴

1

s1

+

1

s2

+

1

s3

+…+

1

sn

＜

3

4

(1+

1

4

+

1

42

+…+

1

4n-1

）
=1-

1

4n

…（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查數(shù)列與不等式，解題需特別注意sn=a1+a2+a3+…+a2n-1+a2n，而不是前n項(xiàng)的和．