Question

【題目】如圖，在三棱柱中，、分別是、的中點(diǎn).

（1）設(shè)棱的中點(diǎn)為，證明： 平面；

（2）若，，，且平面平面，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)

【解析】

試題分析：（1）構(gòu)造面面平行平面平面，由面面平行推得線面平行；（2）合理建立坐標(biāo)系，.求得面的一個(gè)法向量為：，面的一個(gè)法向量，根據(jù)向量夾角的公式求得法向量夾角，進(jìn)而得到面面角。

解析：

（1）證明：連接

是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，

可由棱柱的性質(zhì)知，且；

四邊形是平行四邊形

分別是、的中點(diǎn)

平面平面

平面

（2）方法一：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

面的一個(gè)法向量為：，，

由和的坐標(biāo)可解得面的一個(gè)法向量

設(shè)二面角的大小為，則

方法二：

在面內(nèi)作于點(diǎn)在面內(nèi)作于點(diǎn)，連接.

平面平面

平面

是二面角的平面角

在中，，.

設(shè)二面角的大小為，則