Question

定義在(-1，1)上的函數(shù)f(x)滿足：對任意x，y∈(-1，1)，都有f(x)+f(y)=f().

(1)求證：函數(shù)f(x)是奇函數(shù)；

(2)若當x∈(-1，0)時，有f(x)＞0，求證：f(x)在(-1，1)上是減函數(shù).

Answer 1

思路分析：(1)定義法證明，利用賦值法獲得f(0)的值進而取x=-y是解題關鍵；(2)定義法證明，其中判定的范圍是關鍵.

證明：(1)函數(shù)f(x)的定義域是(-1，1)，

由f(x)+f(y)=f()，令x=y=0,得f(0)+f(0)=f()，∴f(0)=0.

令y=-x,得f(x)+f(-x)=f()=f(0)=0.

∴f(-x)=-f(x).

∴f(x)為奇函數(shù).

(2)先證f(x)在(0，1)上單調遞減.令0＜x₁＜x₂＜1,則

f(x₁)-f(x₂)=f(x₁)+f(-x₂)=f()=f().

∵0＜x₁＜x₂＜1,∴x₂-x₁＞0,1-x₁x₂＞0.

∴＞0.

又(x₂-x₁)-(1-x₁x₂)=(x₂-1)(x₁+1)＜0，

∴0＜x₂-x₁＜1-x₁x₂.

∴-1＜＜0.由題意知f()＞0，

∴f(x₁)＞f(x₂).

∴f(x)在(0，1)上為減函數(shù).

又f(x)為奇函數(shù)，

∴f(x)在(-1，1)上也是減函數(shù).