Question

已知直線l₁：x-2y-1=0，直線l₂：ax-by+1=0，其中a，b∈{1，2，3，4，5，6}．
（1）求直線l₁∩l₂=∅的概率；
（2）求直線l₁與l₂的交點位于第一象限的概率．

Answer 1

分析：（1）本題是一個等可能事件的概率，試驗發(fā)生包含的事件數(shù)是36，滿足條件的事件是直線l₁∩l₂=∅，根據(jù)兩條直線沒有交點，得到兩條直線的斜率之間的關(guān)系，得到關(guān)于a，b的關(guān)系式，寫出滿足條件的事件數(shù)，得到結(jié)果．
（2）本題是一個等可能事件的概率，試驗發(fā)生包含的事件數(shù)是36，滿足條件的事件是兩條直線的交點在第一象限，寫出兩條直線的交點坐標，根據(jù)在第一象限寫出不等式組，解出結(jié)果，根據(jù)a，b之間的關(guān)系寫出滿足條件的事件數(shù)，得到結(jié)果．

解答：解：（1）直線l₁的斜率k1=

1

2

，直線l₂的斜率k2=

a

b

．
設(shè)事件A為“直線l₁∩l₂=∅”．
a，b∈{1，2，3，4，5，6}的總事件數(shù)為（1，1），（1，2），…，（1，6），
（2，1），（2，2），••，（2，6），••，（5，6），（6，6）共36種．
若l₁∩l₂=∅，則l₁∥l₂，即k₁=k₂，即b=2a．
滿足條件的實數(shù)對（a，b）有（1，2）、（2，4）、（3，6）共3種情形．
∴P(A)=

3

36

=

1

12

．
即直線l₁∩l₂=∅的概率為

1

12

．
（2）解：設(shè)事件B為“直線l₁與l₂的交點位于第一象限”，
由于直線l₁與l₂有交點，則b≠2a．
聯(lián)立方程組

ax-by+1=0 x-2y-1=0.

解得

x= b+2 b-2a y= a+1 b-2a .

∵直線l₁與l₂的交點位于第一象限，則

x＞0 y＞0.

即

x= b+2 b-2a ＞0 y= a+1 b-2a ＞0.

解得b＞2a．a(chǎn)，b∈{1，2，3，4，5，6}的總事件數(shù)為36種．
滿足條件的實數(shù)對（a，b）有（1，3）、（1，4）、（1，5）、（1，6）、（2，5）、（2，6）共六種．
∴P(B)=

6

36

=

1

6

．
即直線l₁與l₂的交點位于第一象限的概率為

1

6

．

點評：本題考查等可能事件的概率，考查兩條直線的平行關(guān)系，考查兩條直線的交點在第一象限的特點，本題是一個綜合題，在解題時注意解析幾何知識點的應(yīng)用．