Question

（2013•宿遷一模）已知函數(shù)f（x）=lnx-x，h(x)=

lnx

x

．
（1）求h（x）的最大值；
（2）若關于x的不等式xf（x）≥-2x²+ax-12對一切x∈（0，+∞）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）若關于x的方程f（x）-x³+2ex²-bx=0恰有一解，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，求實數(shù)b的值．

Answer 1

分析：（1）已知h（x）的解析式，對其進行求導，利用導數(shù)研究其單調(diào)性，從而求解；
（2）因為關于x的不等式xf（x）≥-2x²+ax-12對一切x∈（0，+∞）恒成立，將問題轉化為xlnx-x²≥-2x²+ax-12對一切x∈（0，+∞）恒成立，利用常數(shù)分離法進行求解；
（3）關于x的方程f（x）-x³+2ex²-bx=0恰有一解，可得

lnx

x

=x²-2ex+b+1恰有一解，構造新函數(shù)h（x）=

lnx

x

利用導數(shù)研究h（x）的最大值，從而進行求解；

解答：解：（1）因為h(x)=

lnx

x

，(x＞0)，所以h′(x)=

1-lnx

x2

，…（2分）
由h′（x）＞0，且x＞0，得0＜x＜e，由h′（x）＜0，且x＞0，x＞e，…（4分）
所以函數(shù)h（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，e]，單調(diào)減區(qū)間是[e，+∞），
所以當x=e時，h（x）取得最大值

1

e

；…（6分）
（2）因為xf（x）≥-2x²+ax-12對一切x∈（0，+∞）恒成立，
即xlnx-x²≥-2x²+ax-12對一切x∈（0，+∞）恒成立，
亦即a≤lnx+x+

12

x

對一切x∈（0，+∞）恒成立，…（8分）
設?(x)=lnx+x+

12

x

，因為?′(x)=

x2+x-12

x2

=

(x-3)(x+4)

x2

，
故?（x）在（0，3]上遞減，在[3，+∞）上遞增，?（x）_min=?（3）=7+ln3，
所以a≤7+ln3．  …（10分）
（3）因為方程f（x）-x³+2ex²-bx=0恰有一解，
即lnx-x-x³+2ex²-bx=0恰有一解，即

lnx

x

=x2-2ex+b+1恰有一解，
由（1）知，h（x）在x=e時，h(x)max=

1

e

，…（12分）
而函數(shù)k（x）=x²-2ex+b+1在（0，e]上單調(diào)遞減，在[e，+∞）上單調(diào)遞增，
故x=e時，k（x）_min=b+1-e²，
故方程

lnx

x

=x²-2ex+b+1恰有一解當且僅當b+1-e²=

1

e

，
即b=e²+

1

e

-1；

點評：本題考查利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的方法，求函數(shù)的導數(shù)以及對數(shù)函數(shù)的定義域與單調(diào)區(qū)間．注意函數(shù)的定義域，此題是一道中檔題，考查學生計算能力；