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        1. 已知函數(shù)滿足f(2)=1,且方程f(x)=x有且僅有一個實數(shù)根.
          (Ⅰ)求函數(shù)f(x)的解析式;
          (Ⅱ)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=f(an)≠1,n∈N*.求數(shù)列{an}的通項公式;
          (Ⅲ)定義對于(Ⅱ)中的數(shù)列{an},令設(shè)Sn為數(shù)列{bn}的前n項和,求證:Sn>ln(n+1).
          【答案】分析:(Ⅰ)由題設(shè)條件知2a+b=2.當(dāng)△=(b-1)2=0時,b=1,,;當(dāng)△=(b-1)2≠0時,a=1,f(x)=1(x≠0).
          (Ⅱ)由題意知當(dāng)f(x)=1時,an+1=1,不合題意,所以,,∴,由此可得數(shù)列{an}的通項公式.
          (Ⅲ)由題設(shè)條件知,,所以,再用分析法證明Sn>ln(n+1).
          解答:解:(Ⅰ)由,得2a+b=2;
          ,有且僅有一個解,
          即ax2+(b-1)x=0,有唯一解滿足ax+b≠0.
          ∵a≠0,∴當(dāng)△=(b-1)2=0時,b=1,x=0,則,此時,
          又當(dāng)△=(b-1)2≠0時,,因為ax1+b=1≠0,
          所以ax2+b=b=0,則a=1,此時
          綜上所述,,或者f(x)=1(x≠0);

          (Ⅱ)a1=1,an+1=f(an)≠1,n∈N*,當(dāng)f(x)=1時,an+1=1,不合題意,
          ,
          ,


          (Ⅲ)由(Ⅱ)知,
          ,則,所以
          設(shè)數(shù)列{cn}的前n項和為Tn=ln(n+1),則c1=T1=ln2<lne=1
          當(dāng)n≥2時,,要證明
          ,只要證明:lnt<t-1,其中t>1.
          令g(x)=x-1-lnx(x≥1),則,所以g(x)在[1,+∞)上是增函數(shù),
          則當(dāng)x>1時,g(x)>g(1)=0,即x-1>lnx(x>1),所以,

          點評:也可用數(shù)學(xué)歸納法證明,為此,先證明,即證:lnt<t-1,其中t>1.
          練習(xí)冊系列答案
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          (Ⅱ)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=f(an)≠1,n∈N*.求數(shù)列{an}的通項公式;
          (Ⅲ)定義數(shù)學(xué)公式對于(Ⅱ)中的數(shù)列{an},令數(shù)學(xué)公式設(shè)Sn為數(shù)列{bn}的前n項和,求證:Sn>ln(n+1).

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