Question

已知O為坐標原點，M(cosx，2

3

)，N(2cosx，sinxcosx+

3

6

a)其中x∈R，a為常數(shù)，設函數(shù)f(x)=

OM

•

ON

．
（1）求函數(shù)y=f（x）的表達式；
（2）若角C∈[

π

3

，π)且y=f（C）的最小值為0，求a的值；
（3）在（2）的條件下，試畫出y=f（x）（x∈[0，π]）的簡圖．

Answer 1

分析：（1）利用向量的坐標運算與輔助角公式可得y=f（x）=2sin（2x+

π

6

）+a+1；
（2）由

π

3

≤C＜π，可得2C+

π

6

∈[

5π

6

，

13π

6

]，依題意得，2×（-1）+a+1=0，從而可求得a；
（3）當x∈[0，π]時，作出函數(shù)y=2sin（2x+

π

6

）+2圖象即可．

解答：解：（1）y=f（x）=2cos²x+2

3

（sinxcosx+

3

6

a）
=cos2x+

3

sin2x+1+a
=2sin（2x+

π

6

）+a+1
（2）∵

π

3

≤C＜π，故2C+

π

6

∈[

5π

6

，

13π

6

]，
∴y=f（C）=2sin（2C+

π

6

）+a+1的最小值為：2×（-1）+a+1=0，
∴a=1．
（3）由（2）可知：y=2sin（2x+

π

6

）+2，
∵0≤x≤π，
∴

π

6

≤2x+

π

6

≤

13π

6

，0≤y≤4．圖象如下：

點評：本題考查平面向量數(shù)量積的運算，并以平面向量數(shù)量積為載體考查三角函數(shù)的化簡求值，考查正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，突出考查作圖能力，屬于中檔題．