Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，-

π

2

＜φ＜

π

2

）的圖象與x軸交點為（-

π

6

，0），與此交點距離最小的最高點坐標為（

π

12

，1）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的表達式；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）滿足方程f（x）=a（-1＜a＜0），求在[0，2π]內(nèi)的所有實數(shù)根之和；
（Ⅲ）把函數(shù)y=f（x）的圖象的周期擴大為原來的兩倍，然后向右平移

2π

3

個單位，再把縱坐標伸長為原來的兩倍，最后向上平移一個單位得到函數(shù)y=g（x）的圖象．若對任意的0≤m≤3，方程|g（kx）|=m在區(qū)間[0，

5π

6

]上至多有一個解，求正數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由圖象最高點得A，由周期T=4×（

π

12

+

π

6

）=π，可求ω，由f（-

π

6

）=0及-

π

2

＜φ＜

π

2

可得φ；
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)f（x）的周期可知方程f（x）=a（-1＜a＜0）在[0，2π]內(nèi)有4個實根，結(jié)合圖象利用根的對稱性可得所有實根之和；
（Ⅲ）根據(jù)圖象變換得到g（x），作出|g（x）|的圖象，結(jié)合圖象利用伸縮變換可得圖象應伸長的倍數(shù)，從而得到k的范圍；

解答：解：（Ⅰ）從圖知，函數(shù)的最大值為1，則A=1，
函數(shù)f（x）的周期為T=4×（

π

12

+

π

6

）=π，而T=

2π

ω

，則ω=2，
又x=-

π

6

時，y=0，所以sin（2×（-

π

6

）+φ）=0，而-

π

2

＜φ＜

π

2

，則φ=

π

3

，
所以函數(shù)f（x）的表達式為f（x）=sin（2x+

π

3

）；
（Ⅱ）因為f（x）=sin（2x+

π

3

）的周期為π，
f（x）=sin（2x+

π

3

）在[0，2π]內(nèi)恰有2個周期，并且方程sin（2x+

π

3

）=a（-1＜a＜0）在[0，2π]內(nèi)有4個實根，
x1+x2=

7

6

π，x3+x4=

19

6

π，
故所有實數(shù)根之和為

13

3

π；
（Ⅲ）g（x）=2sin（x-

π

3

）+1，
函數(shù)y=|g（x）|的圖象如圖所示：
則當y=|g（x）|圖象伸長為原來的5倍以上時符合題意，所以0＜k≤

1

5

．

點評：本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定解析式、函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，考查函數(shù)方程思想、數(shù)形結(jié)合思想．