Question

過拋物線y²=4x的焦點F的直線交拋物線于A，B兩點，點O是坐標原點，則|AF|•|BF|的最小值是（　　）

• A．2
• B．

  2

• C．4
• D．2

  2

Answer 1

分析：由拋物線y²=4x與過其焦點（1，0）的直線方程聯(lián)立，消去y整理成關于x的一元二次方程，設出A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）兩點坐標，再依據(jù)拋物線的定義得出|AF|•|BF|=x₁x₂+x₁+x₂+1，由韋達定理可以求得答案．

解答：解：由題意知，拋物線y²=4x的焦點坐標為（1，0），
當斜率k存在時，設直線AB的方程為y=k（x-1），
由

y2=4x  y=k(x-1)

⇒k²x²-（2k²+4）x+k²=0．
設出A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）
則 x1+x2=

2k2+4

k2

，x₁x₂=1．
依據(jù)拋物線的定義得出|AF|•|BF|=（x₁+1）（x₂+1）=x₁x₂+x₁+x₂+1，
∴|AF|•|BF|=

2k2+4

k2

+2=4+

4

k2

＞4．
當斜率k不存在時，|AF|•|BF|=2×2=4．
則|AF|•|BF|的最小值是4．
故選C．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的關系，解決問題的關鍵是聯(lián)立拋物線方程與過其焦點的直線方程，利用韋達定理予以解決，屬于基礎題．需要注意對斜率不存在的情況加以研究．