Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB與平面A₁BC₁所成角的正弦值為（　�。�

• A、

  6

  3

• B、

  3

  3

• C、

  1

  2

• D、

  3

  2

Answer 1

分析：由已知中棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，我們以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB，AD，AA₁方向?yàn)閄、Y、Z軸正方向建立空間坐標(biāo)系，分別求出直線AB的方向向量及平面A₁BC₁的法向量，代入向量夾角公式即可求出直線AB與平面A₁BC₁所成角的正弦值

解答：解：以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB，AD，AA₁方向?yàn)閄、Y、Z軸正方向建立空間坐標(biāo)系，

∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1
∴

AB

=（1，0，0），
平面A₁BC₁的一個(gè)法向量為

B1D

=（-1，1，-1）
∵設(shè)AB與平面A₁BC₁所成角為θ
∴sinθ=

| AB • B1D |

| AB |•| B1D |

=

3

3

故選：B

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面所成的角，其中根據(jù)已知條件，建立空間坐標(biāo)系，將線面夾角問題轉(zhuǎn)化為向量的夾角問題，是解答本題的關(guān)鍵．