Question

已知函數(shù)g(x)=(m2-m-1)xm2+2m-3是冪函數(shù)且在（0，+∞）上為減函數(shù)，函數(shù)f(x)=mx2+ax-

a

4

+

1

2

在區(qū)間[0，1]上的最大值為2，試求實(shí)數(shù)m，a的值．

Answer 1

分析：根據(jù)冪函數(shù)的定義和性質(zhì)確定m，由函數(shù)f(x)=mx2+ax-

a

4

+

1

2

在區(qū)間[0，1]上的最大值為2，確定a．

解答：解：因?yàn)楹瘮?shù)g(x)=(m2-m-1)xm2+2m-3是冪函數(shù)且在上為減函數(shù)，所以有

m2-m-1=1 m2+2m-3＜0

解得m=-1．
∴f(x)=-x2+ax-

a

4

+

1

2

=-(x-

a

2

)2+

1

2

-

a

4

+

a2

4

----------5’
①當(dāng)

a

2

＜0，即a＜0時(shí)，[0，1]是f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間，
∴f(x)max=f(0)=

1

2

-

a

4

=2
∴a=-6＜0，
∴a=-6--------7’
②當(dāng)0≤

a

2

＜1，即0≤a＜2時(shí)，f(x)max=f(

a

2

)=

1

2

-

a

4

+

a2

4

=2，
解得a=-2（舍）或a=3（舍）----------9’
③當(dāng)

a

2

≥1，即a≥2時(shí)，[0，1]為f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，
∴f(x)max=f(1)=-1+a-

a

4

+

1

2

=2，解得a=

10

3

--------11’
綜合①②③可知a=-6或a=

10

3

--------12’

點(diǎn)評：本題主要考查冪函數(shù)的定義和性質(zhì)以及二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，要求熟練掌握函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用．