Question

在△ABC中，a、b、c分別為內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊，且滿足（2b-c）cosA=acosC．
（1）求A的大��；
（2）若a=2，求△ABC的面積的最大值，并指出此時(shí)△ABC的形狀．

Answer 1

分析：（1）由正弦定理，將題中等式化簡(jiǎn)得到2sinBcosA=sin（A+C），結(jié)合sinB=sin（A+C）且為正數(shù)，化簡(jiǎn)得cosA=

1

2

，即可求出A的大小；
（2）由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA的式子，得到b²+c²-bc=4，結(jié)合基本不等式求出bc≤4，再用正弦定理的面積公式算出當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時(shí)，△ABC的面積的最大值為

3

，此時(shí)△ABC是等邊三角形，即可得到本題答案．

解答：解：∵△ABC中，（2b-c）cosA=acosC．
∴由正弦定理，得（2sinB-sinC）cosA=sinAcosC
化簡(jiǎn)整理，得2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）
∵△ABC中，A+C=π-B，可得sinB=sin（A+C）
∴2sinBcosA=sinB，結(jié)合sinB＞0，將兩邊約去cosB
可得2cosA=1，cosA=

1

2

∵A∈（0，π），∴A=

π

3

；
（2）∵a=2，A=

π

3

∴由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，得
4=b²+c²-2bccos

π

3

，即b²+c²-bc=4
∴b²+c²=4+bc≥2bc，可得bc≤4
又∵△ABC的面積S=

1

2

bcsinA=

3

4

bc≤

3

∴當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時(shí)，△ABC的面積的最大值為

3

，此時(shí)△ABC是等邊三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題給出三角形的邊角關(guān)系式，求A的大小并依此求三角形面積的最大值．著重考查了正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式和基本不等式等知識(shí)，屬于中檔題．