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        1. 精英家教網(wǎng)在三棱錐S-ABC中,△ABC是邊長為4的正三角形,點(diǎn)S在平面ABC上的射影恰為AC的中點(diǎn),SA=2
          3
          ,M、N分別為AB、SB的中點(diǎn).
          (1)證明AC丄SB;
          (2)求直線CN與平面ABC所成角的余弦值;
          (3)求點(diǎn)B到平面CMN的距離.
          分析:(1)欲證AC⊥SB,取AC中點(diǎn)D,連接DS、DB.根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可知,只須證AC⊥SD且AC⊥DB,即得;
          (2)欲求直線CN與平面ABC所成角的余弦值大小,可先作出直線CN與平面ABC所成角,結(jié)合SD⊥平面ABC.過D作DE⊥CM于E,連接SE,則SE⊥CM,從而得出∠NCD為直線CN與平面ABC所成角.最后在Rt△NCD中求解即可;
          (3)設(shè)點(diǎn)B到平面CMN的距離為h,利用等到體積法:VB-SNM=VS-NMB,即可求得點(diǎn)B到平面CMN的距離.
          解答:精英家教網(wǎng)證明:(Ⅰ)取AC中點(diǎn)D,連接SO.
          ∵SO⊥面ABC,
          ∴AC⊥SO,
          ∵△ABC是邊長為4的正三角形,
          ∴AC⊥BO
          ∴AC⊥面SOB,∴AC⊥SB.

          (Ⅱ)過N作ND∥SO交OB于D,則ND⊥面ABC,且D是OB的中點(diǎn),
          在Rt△NCD中,ND=
          1
          2
          SO=
          2

          CD=
          CO 2+OD 2
          =
          7
          ∴CN=3
          ∴cos∠NCD=
          CD
          CN
          =
          7
          3

          直線CN與平面ABC所成角的余弦值
          7
          3

          (Ⅲ)解:在Rt△SDE中,SE=
          SD2+DE2
          =
          5
          ,CM是邊長為4正△ABC的中線,CM=2
          3

          ∴S△SCM=
          1
          2
          CM•SE=
          1
          2
          ×2
          3
          ×
          5
          =
          15
          ,
          設(shè)點(diǎn)B到平面SCM的距離為h,
          由VB-SCM=VS-CMB,SD⊥平面ABC,得
          1
          3
          S△SCM•h=
          1
          3
          S△CMB•SD,
          ∴h=
          S△CMB•SD
          S△SCM
          =
          4
          2
          3
          .即點(diǎn)B到平面SCM的距離為
          4
          2
          3
          點(diǎn)評:本小題主要考查直線與直線,直線與平面所成角,點(diǎn)到平面的距離等基礎(chǔ)知識,考查空間想象能力和邏輯推理能力.求距離的關(guān)鍵是構(gòu)造三棱錐的體積求解.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          精英家教網(wǎng)如圖,在三棱錐S-ABC中,側(cè)面SAB與側(cè)面SAC均為邊長為1的等邊三角形,∠BAC=90°,O為BC中點(diǎn).
          (Ⅰ)證明:SO⊥平面ABC;
          (Ⅱ)證明:SA⊥BC;
          (Ⅲ)求三棱錐S-ABC的體積.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          精英家教網(wǎng)如圖,在三棱錐S-ABC中,側(cè)面SAB與側(cè)面SAC均為等邊三角形,∠BAC=90°,O為BC中點(diǎn).
          (Ⅰ)證明:SO⊥平面ABC;
          (Ⅱ)求二面角A-SC-B的余弦值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          精英家教網(wǎng)如圖,在三棱錐S-ABC中,側(cè)面SAB⊥底面ABC,且∠ASB=∠ABC=90°,AS=SB=2,AC=2
          3


          (Ⅰ)求證SA⊥SC;
          (Ⅱ)在平面幾何中,推導(dǎo)三角形內(nèi)切圓的半徑公式r=
          2S
          l
          (其中l(wèi)是三角形的周長,S是三角形的面積),常用如下方法(如右圖):
          ①以內(nèi)切圓的圓心O為頂點(diǎn),將三角形ABC分割成三個(gè)小三角形:△OAB,△OAC,△OB精英家教網(wǎng)C.
          ②設(shè)△ABC三邊長分別為a,b,c.由S△ABC=S△OBC+S△OAC+S△OAB,
          S=
          1
          2
          ar+
          1
          2
          br+
          1
          2
          cr
          =
          1
          2
          lr
          ,則r=
          2S
          l

          類比上述方法,請給出四面體內(nèi)切球半徑的計(jì)算公式(不要求說明類比過程),并利用該公式求出三棱錐S-ABC內(nèi)切球的半徑.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          如圖,在三棱錐S-ABC中,SA=AB=BC=AC=
          2
          SB=
          2
          SC
          ,O為BC中點(diǎn).
          (1)求證:SO⊥平面ABC
          (2)在線段AB上是否存在一點(diǎn)E,使二面角B-SC-E的平面角的余弦值為
          15
          5
          ?若存在,確定E點(diǎn)位置;若不存在,說明理由.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          在三棱錐S-ABC中,側(cè)棱SC⊥平面SAB,SA⊥BC,側(cè)面△SAB,△SBC,△SAC的面積分別為1,
          3
          2
          ,3,則此三棱錐的外接球的表面積為( 。

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          同步練習(xí)冊答案