Question

對于定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823142303456210.gif" style="vertical-align:middle;" />的函數(shù)，若同時(shí)滿足下列條件：
①在內(nèi)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減；②存在區(qū)間，使在 上的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823142303659277.gif" style="vertical-align:middle;" />；那么把叫閉函數(shù).
（1）求閉函數(shù)符合條件②的區(qū)間；
（2）判斷函數(shù)，是否為閉函數(shù)？并說明理由；
（3）若是閉函數(shù)，求實(shí)數(shù)的范圍？

Answer 1

（1）
（2）不是閉函數(shù).
（3）

（1）在上遞減，依題意，
  解得
∴所求的區(qū)間為.
（2）當(dāng)時(shí)，.
當(dāng)時(shí)，得；
當(dāng)時(shí)，得，
∴的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為
∴函數(shù)在定義域上不單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，
故函數(shù)，不是閉函數(shù).
（3）在定義域上為增.
若是閉函數(shù)，則存在區(qū)間，在區(qū)間上，函數(shù)的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823142303659277.gif" style="vertical-align:middle;" />，即
∴為方程 (*)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
即方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，
令
當(dāng)時(shí)，有  即
解得.
當(dāng)時(shí)，有   即
此不等式組無解.
綜上所述，.