Question

設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知， ，
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，證明：.

Answer 1

（1）；（2）證明過程詳見解析.

試題分析：本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、配湊法求通項(xiàng)公式、錯(cuò)位相減法求和等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力，考查轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算能力.第一問，已知條件中只有一個(gè)等式，利用，用代替式子中的，得到一個(gè)新的表達(dá)式，兩個(gè)式子相減得到，再用配湊法，湊出等比數(shù)列，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；第二問，利用第一問的結(jié)論，先化簡(jiǎn)表達(dá)式，再利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，最后的結(jié)果與2比較大小.
試題解析：（Ⅰ）∵，當(dāng)時(shí)
∴              2分
∴　即　 （）　　
又　∴　∴　　
∴　　即　　　　　　　　            6分
（Ⅱ）∵　　∴      8分
∴，　
∴            12分求；2 配湊法求通項(xiàng)公式；3 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；4 錯(cuò)位相減法