Question

（2011•嘉定區(qū)三模）設(shè)復(fù)數(shù)z₁=sinα+i，z₂=m+（m-cosα）i，其中i為虛數(shù)單位，α∈[0，2π），m∈R，且z₁=z₂．
（1）求α的值；
（2）設(shè)t=cosα+isinα，求f（t）=1+t+t²+…+t^n-1（n∈N*）．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件：實部和虛部對應(yīng)相等列出方程，再由兩角差的正弦公式和α的范圍，求出α的值；
（2）根據(jù)（1）求出的α值，分兩種情況進(jìn)行求解，再由i²=-1對n進(jìn)分類討論求解．

解答：解：（1）由題意知，z₁=sinα+i，z₂=m+（m-cosα）i，
∵z₁=z₂，∴m=sinα，m-cosα=1，即sinα-cosα=1，∴sin(α-

π

4

)=

2

2

，
由α∈[0，2π）得，α-

π

4

∈[-

π

4

 ， 

7π

4

)，
∴α-

π

4

=

π

4

或α-

π

4

=

3π

4

，即α=

π

2

或α=π．
（2）由題意知，t=cosα+isinα，f（t）=1+t+t²+…+t^n-1（n∈N*）
①當(dāng)α=

π

2

時，t=i，∴f(t)=1+i+i2+…+in=

1-in

1-i

，
當(dāng)n=4k（n∈N*）時，f（t）=0；當(dāng)n=4k+1時，f（t）=1；當(dāng)n∈N，n=4k+2時，f（t）=1+i；
當(dāng)n=4k+3時，f（t）=i．
②當(dāng)α=π時，t=-1，f(t)=1-1+1-1+…+(-1)n-1=

1-(-1)n

2

，
當(dāng)n為奇數(shù)時，f（t）=1；當(dāng)n為偶數(shù)時，f（t）=0．

點評：本題考查兩個復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法，虛數(shù)單位i 的冪運算性質(zhì)，以及復(fù)數(shù)相等的條件應(yīng)用，主要考查了分類討論思想．