Question

如圖，已知二次函數(shù)的圖像過點和，直線，直線（其中，為常數(shù)）；若直線與函數(shù)的圖像以及直線與函數(shù)以及的圖像所圍成的封閉圖形如陰影所示.
（1）求；
（2）求陰影面積關(guān)于的函數(shù)的解析式；
（3）若過點可作曲線的三條切線，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）；（3）.

試題分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)的圖像過點和，法一：可以直接將點代入得到，進而求解即可；法二：由二次函數(shù)的圖像過點，可設(shè)（兩根式），進而再將代入可求出的值，最后寫出函數(shù)的解析式即可；（2）先求出直線與函數(shù)的圖像的交點坐標，進而根據(jù)定積分的幾何意義即可求出；（3）先由條件判斷點不在曲線上，于是設(shè)出切點，進而求出切線的斜率，一方面為，另一方面，于是得到等式即，根據(jù)題意，關(guān)于的方程要有三個不相等的實根，設(shè)，轉(zhuǎn)化為該函數(shù)的極大值大于零且極小值小于零，最后根據(jù)函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)關(guān)系進行求解運算即可求出的取值范圍.
(1)二次函數(shù)的圖像過點，則，又因為圖像過點
∴                     3分
∴函數(shù)的解析式為               4分
(2)由得，
∴直線與的圖像的交點橫坐標分別為，         6分
由定積分的幾何意義知：
         8分
（3）∵曲線方程為，
∴點不在曲線上，設(shè)切點為，則，且
所以切線的斜率為，整理得 10分
∵過點可作曲線的三條切線，∴關(guān)于方程有三個實根
設(shè)，則，由得
∵當時，在在上單調(diào)遞增
∵當時，在上單調(diào)遞減
∴函數(shù)的極值點為          12分
∴關(guān)于當成有三個實根的充要條件是
解得，故所求的實數(shù)的取值范圍是         14分.