Question

市政府為招商引資，決定對(duì)外資企業(yè)第一年產(chǎn)品免稅．某外資廠該年A型產(chǎn)品出廠價(jià)為每件60元，年銷(xiāo)售量為11.8萬(wàn)件．第二年，當(dāng)?shù)卣�府開(kāi)始對(duì)該商品征收稅率為p%（0＜p＜100，即銷(xiāo)售100元要征收p元）的稅收，于是該產(chǎn)品的出廠價(jià)上升為每件

8000

100-p

元，預(yù)計(jì)年銷(xiāo)售量將減少p萬(wàn)件．
（Ⅰ）將第二年政府對(duì)該商品征收的稅收y（萬(wàn)元）表示成p的函數(shù)，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域；
（Ⅱ）要使第二年該廠的稅收不少于16萬(wàn)元，則稅率p%的范圍是多少？
（Ⅲ）在第二年該廠的稅收不少于16萬(wàn)元的前提下，要讓廠家獲得最大銷(xiāo)售金額，則p應(yīng)為多少？

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)該產(chǎn)品的出廠價(jià)上升為每件

8000

100-p

元，預(yù)計(jì)年銷(xiāo)售量將減少p萬(wàn)件．可得年銷(xiāo)售收入為

8000

100-p

（11.8-p）萬(wàn)元，從而可求政府對(duì)該商品征收的稅收函數(shù)；
（II）由y≥16得

80

100-p

（11.8-p）p≥16，即p²-12p+20≤0，從而可求稅率p%的范圍；
（III）第二年，當(dāng)稅收不少于16萬(wàn)元時(shí)，廠家的銷(xiāo)售收入為g（p）=

80

100-p

（11.8-p）（2≤p≤10），可以證明g（p）在[2，10]是減函數(shù)，從而可求廠家銷(xiāo)售金額最大值．

解答：解：（Ⅰ）依題意，第二年該商品年銷(xiāo)售量為（11.8-p）萬(wàn)件，
年銷(xiāo)售收入為

8000

100-p

（11.8-p）萬(wàn)元，
政府對(duì)該商品征收的稅收y=

8000

100-p

（11.8-p）p%（萬(wàn)元）
故所求函數(shù)為y=

80

100-p

（11.8-p）p
由11.8-p＞0及p＞0得定義域?yàn)?＜p＜11.8…（4分）
（II）由y≥16得

80

100-p

（11.8-p）p≥16
化簡(jiǎn)得p²-12p+20≤0，即（p-2）（p-10）≤0，解得2≤p≤10．
故當(dāng)稅率在[0.02，0.1]內(nèi)時(shí)，稅收不少于16萬(wàn)元． …（9分）
（III）第二年，當(dāng)稅收不少于16萬(wàn)元時(shí)，
廠家的銷(xiāo)售收入為g（p）=

80

100-p

（11.8-p）（2≤p≤10）
∵g(p)=

8000

100-p

(11.8-p)=800(10+

882

100-p

)在[2，10]是減函數(shù)
∴g（p）_max=g（2）=800（萬(wàn)元）
故當(dāng)稅率為2%時(shí)，廠家銷(xiāo)售金額最大． …（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題以實(shí)際問(wèn)題為載體，開(kāi)始函數(shù)模型的構(gòu)建，考查解不等式，有一定的綜合性．