Question

已知數(shù)列中，前和
（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列
（2）求數(shù)列的通項公式
（3）設(shè)數(shù)列的前項和為，是否存在實數(shù)，使得對一切正整數(shù)都成立？若存在，求的最小值，若不存在，試說明理由。

Answer 1

（1）詳見解析；（2）；（3）．

試題分析：（1）由可得，兩式相減即得關(guān)于數(shù)列項的遞推關(guān)系式，從而進行化簡進行判斷數(shù)列為等差數(shù)列；（2）由數(shù)列的第一項和遞推關(guān)系式可求出數(shù)列的第二項，從而求出數(shù)列的公差，進而求出數(shù)列的通項公式；（3）這是一個不等式恒成立問題，的最小值就是的最大值（上確界），而求是我們所熟悉的裂項相消法，于是本題不難得到結(jié)果.
試題解析：（1）由，知，兩式相減得，
，
整理得，所以，
兩式再相減整理得，，
∴數(shù)列為等差數(shù)列。
（2）即公差為2

（3）

要使得對一切正整數(shù)恒成立，只要≥，
所以存在實數(shù)使得對一切正整數(shù)都成立，的最小值為。