Question

如圖，點A是△BCD所在平面外一點，AD=BC，E、F分別是AB、CD的中點．
（1）若EF=

2

2

AD，求異面直線AD與BC所成的角；
（2）若EF=

3

2

AD，求異面直線AD與BC所成的角．

Answer 1

分析：設G是AC的中點，連結EG、FG，則EG與FG所成的銳角（或直角）為AD與BC所成的角，利用余弦定理，結合異面直線所成角的范圍，即可得到結論．

解答：解：設G是AC的中點，連結EG、FG．如圖所示．
∵E、F分別是AB、CD的中點，
∴EG∥BC且EG=

1

2

BC，FG∥AD且FG=

1

2

AD．
∵AD=BC，
∴EG=FG=

1

2

AD，
∴EG與FG所成的銳角（或直角）為AD與BC所成的角．
（1）若EF=

2

2

AD，則在△EFG中有cos∠EGF=

EG2+FG2-EF2

2EG•FG

=

( 1 2 AD)2+( 1 2 AD)2-( 2 2 AD)2

2•( 1 2 AD)•( 1 2 AD)

=0，
∴∠EGF=90°，即AD與BC所成的角為90°．
（2）若EF=

3

2

AD，則在△EFG中有cos∠EGF=

EG2+FG2-EF2

2EG•FG

=

( 1 2 AD)2+( 1 2 AD)2-( 3 2 AD)2

2•( 1 2 AD)•( 1 2 AD)

=-

1

2

，
∴∠EGF=120°，其補角為60°，
即AD與BC所成的角為60°．

點評：本題考查異面直線所成角，考查余弦定理的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．