Question

已知不等式ax²+x+c＞0的解集為{x|1＜x＜3}．
（Ⅰ）求a，c的值；
（Ⅱ）若“ax²+2x+4c＞0”是“x+m＞0”的充分不必要條件，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）利用一元二次不等式的解集與相應(yīng)的一元二次方程的實數(shù)根的關(guān)系即可求出；
（II）“ax²+2x+4c＞0”是“x+m＞0”的充分不必要條件，將它們對應(yīng)的不等式分別解出，可得集合{x|2＜x＜6}?}x|x＞-m}，從而建立關(guān)于m的不等關(guān)系，解關(guān)于m不等式即可得到實數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）依題意得，1、3是方程ax²+x+c=0的兩根，且a＜0，----------------------（1分）
所以，

a＜0 1+3=- 1 a 1×3= c a

---------------------------------------------------------（4分）
解得，

a=- 1 4 c=- 3 4

；---------------------------------------------------------（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得a=-

1

4

，c=-

3

4

，所以，ax²+2x+4c＞0即為-

1

4

x²+2x-3＞0，
解得，2＜x＜6，又x+m＞0 解得  x＞-m，-------------------------------------（8分）
∵“ax²+2x+4c＞0”是“x+m＞0”的充分不必要條件，
∴{x|2＜x＜6}?}x|x＞-m}，-----------------------------------（10分）
∴-m≤2，即  m≥-2，
∴m的取值范圍是[-2，+∞）．------------------------（12分）

點評：本題給出不等式的解集，叫我們判斷充分必要性，著重考查了一元二次不等式的解法和充要條件的判斷等知識，屬于基礎(chǔ)題．熟練掌握一元二次不等式的解集與相應(yīng)的一元二次方程的實數(shù)根的關(guān)系和充要條件的定義是解題的關(guān)鍵．