Question

在三棱錐P-ABC中，△PAC和△PBC是邊長(zhǎng)為

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的等邊三角形，AB=2，O，D分別是AB，PB的中點(diǎn)．
（1）求證：OD∥平面PAC；
（2）求證：PO⊥平面ABC．

Answer 1

分析：（1）由O，D分別為AB，PB的中點(diǎn)，知OD∥PA，由此能夠證明OD∥平面PAC．
（2）連接OC，OP，由AC=CB=

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，O為AB的中點(diǎn)，AB=2，知OC⊥AB，OC=1．同理，PO⊥AB，PO=1，由此能夠證明PO⊥平面PAC．

解答：證明：（1）∵O，D分別為AB，PB的中點(diǎn)，
∴OD∥PA…（3分）
又OD?平面PAC，PA?平面PAC…（5分）
∴OD∥平面PAC．…（6分）
（2）連接OC，OP
∵AC=CB=

2

，O為AB的中點(diǎn)，AB=2，
∴OC⊥AB，OC=1．…（8分）
同理，PO⊥AB，PO=1．…（10分）
又PC=

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，PC²=OD²+PO²=2，
∴∠POC=90°，PO⊥OC．…（12分）
∵OC∩AB=O，…（13分）
∴PO⊥平面PAC．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的證明，考查直線與平面垂直的證明．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．