Question

如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，SA=AB，點M是SD的中點，AN⊥SC，且交SC于點N．
（I）求證：SB∥平面ACM；
（Ⅱ）求二面角D-AC-M的大小；
（Ⅲ）求證：平面SAC⊥平面AMN．

Answer 1

分析：此題可有多種方法求解：
方法一：
（1）根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知，只要在平面ACM內(nèi)找到與直線SB平行的直線就可以了，因為M為中點，所以構(gòu)造平行線的時候可以考慮一下構(gòu)造“中位線”．；
（2）二面角的度量關(guān)鍵在于作出它的平面角，常用的方法就是三垂線定理，在找垂線的時候，應(yīng)以題中本來就有的垂線優(yōu)先，如SA⊥底面ABCD，所以可取AD中點F，則MF∥SA，所以MF⊥底面ABCD．
（3）可從結(jié)論反推：因為平面SAC∩平面AMN=AN，并且AN⊥SC，易知：只要想辦法證明SC⊥平面AMN就可以了
方法二：
在含有直線與平面垂直垂直的條件的棱柱、棱錐、棱臺中，也可以建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)定參量求解．比如此題中，我們可以以A為坐標(biāo)原點，分別以DA、BA、SA為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz．這種解法的好處就是：（1）解題過程中較少用到空間幾何中判定線線、面面、線面相對位置的有關(guān)定理，因為這些可以用向量方法來解決．（2）即使立體感稍差一些的學(xué)生也可以順利解出，因為只需畫個草圖以建立坐標(biāo)系和觀察有關(guān)點的位置即可．

解答：解：方法一：（Ⅰ）證明：連接BD交AC于E，連接ME．（1分）
∵ABCD是正方形，
∴E是BD的中點．
∵M(jìn)是SD的中點，
∴ME是△DSB的中位線．
∴ME∥SB．（2分）
又∵M(jìn)E?平面ACM，SB?平面ACM，（3分）
∴SB∥平面ACM．（4分）

（Ⅱ）解：取AD中點F，則MF∥SA．作FQ⊥AC于Q，連接MQ．（5分）
∵SA⊥底面ABCD，
∴MF⊥底面ABCD．
∴FQ為MQ在平面ABCD內(nèi)的射影．
∵FQ⊥AC，
∴MQ⊥AC．
∴∠FQM為二面角D-AC-M的平面角．（7分）
設(shè)SA=AB=a，在Rt△MFQ中，MF=

1

2

SA=

a

2

，F(xiàn)Q=

1

2

DE=

2

4

a，
∴tanFQM=

a 2

2 4 a

=

2

．
∴二面角D-AC-M的大小為arctan

2

．（9分）

（III）證明：由條件有DC⊥SA，DC⊥DA，
∴DC⊥平面SAD，
∴AM⊥DC．（10分）
又∵SA=AD，M是SD的中點，
∴AM⊥SD．
∴AM⊥平面SDC．（11分）
∴SC⊥AM．
由已知SC⊥MN，
∴SC⊥平面AMN．
又SC?平面SAC，
∴平面SAC⊥平面AMN．（14分）

方法二：解：（II）如圖，以A為坐標(biāo)原點，
建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，（5分）
由SA=AB故設(shè)AB=AD=AS=1，則．
∵SA⊥底面ABCD，
∴

AS

是平面ABCD的法向量，

AS

=(0，0，1)．
設(shè)平面ACM的法向量為n=（x，y，z），

AC

=(1，1，0)，

AM

=(

1

2

，0，

1

2

)，（7分）
則

n• AC =0 n• AM =0.

即

x+y+0=0 1 2 x+0+ 1 2 z=0.

∴

y=-x z=-x.

令x=1，則n=（1，-1，-1）．（8分）
∴cos＜

AS

，n＞=

AS •n

| AS |•|n|

=

-1

1× 3

=-

3

3

，
∴二面角D-AC-M的大小為arccos

3

3

．（9分）
（III）∵

AM

=(

1

2

，0，

1

2

)，

CS

=(-1，-1，1)，（10分）
∴

AM

•

CS

=-

1

2

+

1

2

=0∴

AM

⊥

CS

（12分）
又∵SC⊥AN且AN∩AM=A．
∴SC⊥平面AMN．又SC?平面SAC，
∴平面SAC⊥平面AMN．（14分）

點評：本小題主要考查空間線面關(guān)系、二面角的度量等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力