Question

已知函數(shù)．
（Ⅰ）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
（Ⅲ）求證：（，e是自然對數(shù)的底數(shù)）.

Answer 1

（Ⅰ）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（Ⅱ）實數(shù)a的取值范圍是；（Ⅲ）詳見解析.

解析試題分析：（Ⅰ）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,即判斷在各個區(qū)間上的符號,只需對求導(dǎo)即可；（Ⅱ）當(dāng)時，不等式恒成立，即恒成立，令 （），只需求出最大值,讓最大值小于等于零即可,可利用導(dǎo)數(shù)求最值,從而求出的取值范圍；（Ⅲ）要證（成立,即證,即證
,由（Ⅱ）可知當(dāng)時，在上恒成立，又因為,從而證出.
試題解析：（Ⅰ）當(dāng)時，（），（1分）
（），（2分）
由解得，由解得,
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（3分）
（Ⅱ）因當(dāng)時，不等式恒成立，即恒成立，設(shè) （），只需即可． （4分）
由， （5分）
（�。┊�(dāng)時，，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
故 成立；（6分）
（ⅱ）當(dāng)時，由，因，所以，
①若，即時，在區(qū)間上，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在 上無最大值（或：當(dāng)時，），此時不滿足條件；
②若，即時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，同樣 在上無最大值，不滿足條件 ；（8分）
（ⅲ）當(dāng)時，由，∵，∴，
∴，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，故成立．
綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是