Question

已知函數(shù)f（x）對任意實數(shù)x、y都有f（xy）=f（x）•f（y），且f（-1）=1，f（27）=9，當(dāng)0≤x＜1時，0≤f（x）＜1．
（1）判斷f（x）的奇偶性；
（2）判斷f（x）在[0，+∞）上的單調(diào)性，并給出證明；
（3）若a≥0且f（a+1）≤

3

9

，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用賦值法，令y=-1，代入抽象函數(shù)表達式即可證明函數(shù)的奇偶性；
（2）先證明當(dāng)x＞0時，f（x）＞0，再利用已知和單調(diào)函數(shù)的定義，證明函數(shù)f（x）在[0，+∞）上的單調(diào)性；
（3）先利用賦值法求得f（3）=

3	9

，再利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可

解答：解：解：（1）令y=-1，則f（-x）=f（x）•f（-1），
∵f（-1）=1，∴f（-x）=f（x），且x∈R
∴f（x）為偶函數(shù)．
（2）若x≥0，則f（x）=f(

x

•

x

)=f(

x

)•f(

x

)=[f(

x

)]²≥0．
若存在x₀＞0，使得f（x₀）=0，則f(27)=f(x0•

27

x0

)=f(x0)f(

27

x0

)=0，與已知矛盾，
∴當(dāng)x＞0時，f（x）＞0
設(shè)0≤x₁＜x₂，則0≤

x1

x2

＜1，
∴f（x₁）=f(

x1

x2

•x2)=f(

x1

x2

)•f（x₂），
∵當(dāng)x≥0時f（x）≥0，且當(dāng)0≤x＜1時，0≤f（x）＜1．
∴0≤f(

x1

x2

)＜1，
∴f（x₁）＜f（x₂），
故函數(shù)f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)．
（3）∵f（27）=9，又f（3×9）=f（3）•f（9）=f（3）•f（3）•f（3）=[f（3）]³，
∴9=[f（3）]³，
∴f（3）=

3	9

，
∵f（a+1）≤

3	9

，
∴f（a+1）≤f（3），
∵a≥0，
∴（a+1）∈[0，+∞），3∈[0，+∞），
∵函數(shù)在[0，+∞）上是增函數(shù)．
∴a+1≤3，即a≤2，
又a≥0，
故0≤a≤2．

點評：本題考查了抽象函數(shù)表達式的意義和運用，函數(shù)奇偶性的定義和判斷方法，函數(shù)單調(diào)性定義及其證明，利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式的方法