Question

已知函數(shù)：

(1)若函數(shù)在區(qū)間上存在零點，求實數(shù)的取值范圍；

(2)問：是否存在常數(shù)，當(dāng)時，的值域為區(qū)間，且的長度為.

 

Answer 1

【答案】

(1) ;(2)存在，見解析.

【解析】

試題分析：(1) 先由函數(shù)對稱軸為得函數(shù)在上單調(diào)減，要使函數(shù)在存在零點，則需滿足，解得； (2)當(dāng)時，的值域為，由，得合題意；當(dāng)時，的值域為，由，得不合題意；當(dāng)時，的值域為，用上面的方法得或合題意.

試題解析：⑴ ∵二次函數(shù)的對稱軸是

∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減

∴要函數(shù)在區(qū)間上存在零點須滿足 

即  

解得  ，所以.

⑵ 當(dāng)時，即時，的值域為：，即   

∴

∴   ∴ 

經(jīng)檢驗不合題意，舍去。

當(dāng)時，即時，的值域為：，即 

∴, ∴

經(jīng)檢驗不合題意，舍去。

當(dāng)時，的值域為：，即 

∴

∴   ∴或

經(jīng)檢驗或或滿足題意。

所以存在常數(shù)，當(dāng)時，的值域為區(qū)間，且的長度為.

考點：零點存在性定理、二次函數(shù)的單調(diào)性、二次函數(shù)值域、分類討論思想.