Question

已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，它的一個(gè)焦點(diǎn)是F，M是橢圓上的任意一點(diǎn)，|MF|的最大值與最小值的積為4，橢圓上存在著以直線l：y=x為對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)M₁和M₂，且|M₁M₂|=，求橢圓的方程.

Answer 1

解：設(shè)橢圓方程為=1(a＞b＞0)，依題意，

∵|MF|的最大值為a+c，|MF|的最小值為a-c，則（a+c)(a-c)=4，即b²=4.

設(shè)過M₁、M₂的直線方程為y=-x+m，直線M₁M₂與橢圓交于M₁（x₁,y₁)，M₂（x₂,y₂），線段M₁M₂的中點(diǎn)為M（x₀,y₀）.

由得(4+a²)x²-2a²mx+a²m²-4a²=0.

x₀=(x₁+x₂)=，     ①

y₀=-x₀+m=,         ②

將①②代入y=x，得=，又∵a²＞b²=4,∴m=0，

∴x₁+x₂=0,x₁x₂=,

|M₁M₂|=.∴a²=5.

所以橢圓方程為=1.