Question

【題目】已知定義在正實數(shù)集上的函數(shù)，其中，設兩曲線有公共點，且在公共點處的切線相同.

（1）若，求實數(shù)的值；

（2）用表示，并求實數(shù)的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】試題分析：（1）設y=f（x）與y=g（x）（x＞0）在公共點（x0，y0）處的切線相同，先利用導數(shù)求出在切點處的導函數(shù)值，再結合導數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．最后利用兩直線重合列出等式即可求得b值；（2）利用（1）類似的方法，利用a的表達式來表示b，然后利用導數(shù)來研究b的最大值，研究此函數(shù)的最值問題，先求出函數(shù)的極值，結合函數(shù)的單調性，最后確定出最大值與最小值即得．

試題解析：

（1）設與在公共點處的切線相同

，

由題意知

，

由得， ，或（舍去）

即有.

（2）設與在公共點處的切線相同

，

由題意知

，

由得， ，或（舍去），

即有，

令，則，

于是當，即時， ；

當，即時， ，

故在的最大值為，故的最大值為.