Question

如圖，某自來水公司要在公路兩側(cè)鋪設(shè)水管，公路為東西方向，在路北側(cè)沿直線鋪設(shè)線路l₁，在路南側(cè)沿直線鋪設(shè)線路l₂，現(xiàn)要在矩形區(qū)域ABCD內(nèi)沿直線將l₁與l₂接通．已知AB=60m，BC=80m，公路兩側(cè)鋪設(shè)水管的費用為每米1萬元，穿過公路的EF部分鋪設(shè)水管的費用為每米2萬元，設(shè)∠EFB=

π

2

-α，矩形區(qū)域內(nèi)的鋪設(shè)水管的總費用為W．

（1）求W關(guān)于α的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求W的最小值及相應(yīng)的角α．

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型

專題：應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）過E作EM⊥BC，垂足為M，由題意可得∠MEF=α，則MF=60tanα，EF=

60

cosα

，AE+FC=80-60tanα，進(jìn)而可得答案；
（2））W=80-

60sinα

cosα

+

120

cosα

=80-

60(sinα-2)

cosα

．令f(α)=

sinα-2

cosα

，利用導(dǎo)數(shù)可求得f(α)max=-

3

，由此可得答案；

解答： 解：（1）過E作EM⊥BC，垂足為M，由題意得∠MEF=α，
故有MF=60tanα，EF=

60

cosα

，AE+FC=80-60tanα，
∴W=(80-60tanα)×1+

60

cosα

×2
=80+

120

cosα

-60tanα．
（2）W=80-

60sinα

cosα

+

120

cosα

=80-

60(sinα-2)

cosα

．
設(shè)f(α)=

sinα-2

cosα

，則f′(α)=

cosαcosα-(-sinα)(sinα-2)

cos2α

=

1-2sinα

cos2α

．
令f'（α）=0，得1-2sinα=0，即sinα=

1

2

，得α=

π

6

．
列表

α	(0， π 6 )	π 6	( π 6 ，α0)
f'（α）	+	0	-
f（α）	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減

∴當(dāng)α=

π

6

時有f(α)max=-

3

，
此時有Wmin=80+60

3

．

點評：本題以實際問題為背景，考查三角函數(shù)的最值求解，考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)來源于生活服務(wù)于生活．