Question

如圖，棱長為1的正四面體ABCD中，E、F分別是棱AD、CD的中點(diǎn)，O是點(diǎn)A在平面BCD內(nèi)的射影.

（Ⅰ）求直線EF與直線BC所成角的大小；

（Ⅱ）求點(diǎn)O到平面ACD的距離；

（Ⅲ）求二面角A―BE―F的大小.

Answer 1

方法一：（Ⅰ）因為E、F分別是棱AD、CD的中點(diǎn)，

所以EF∥AC.

所以∠BCA是EF與BC所成角.

∵正四面體ABCD，∴△ABC為正三角形，

所以∠BCA = 60°.即EF與BC所成角的大小是60°

（Ⅱ）解法1：

        

如圖，連結(jié)AO，AF，

因為F是CD的中點(diǎn)，且△ACD，△BCD均為正三角形，

所以BF⊥CD，AF⊥CD.

因為BF∩AF = F，所以CD⊥面AFB.

因為CD在ACD，所以面AFB⊥面ACD.

因為ABCD是正四面體，且O是點(diǎn)A在面BCD內(nèi)的射影，

所以點(diǎn)O必在正三角形BCD的中線BF上，

在面ABF中，過O做OG⊥AF，垂足為G，

所以O(shè)G⊥在ACD.即OG的長為點(diǎn)O到面ACD的距離.

因為正四面體ABCD的棱長為1,

在△ABF中,容易求出AF = BF=，OF=，AO = ，

因為△AOF∽△OGF，故由相似比易求出OG =

所以點(diǎn)O到平面ACD的距離是

解法2：

如圖，連結(jié)AO，CO，DO，

所以點(diǎn)O到平面ACD的距離就是三棱錐O―ACD底面ACD上的高h.

與解法1同理容易求出OF=，AO = ，

所以V_A―COD =

因為V_O―ACD = V_A―COD，

所以= V_O―ACD = 解得

（Ⅲ）

         

設(shè)△ABD中，AB邊的中線交BE于H，連結(jié)CH，則由ABCD為正四面體知CH⊥面ABD.

設(shè)HD的中點(diǎn)為K，則FK∥CH。

所以FK⊥面ABD.

在面ABD內(nèi)，過點(diǎn)K作KN∥AD，KN交BE于M，交AB于N，

因為BE⊥AD，所以NM⊥BE.

連結(jié)FM，所以FM⊥BE.所以∠NMF是所求二面角的平面角.

因為FK = CH = ，MK = ED = AD = ，

所以

所以

所以所求二面角的大小為

（或者由正四面體的對稱性，可轉(zhuǎn)求二面角C―BF―E的大�。�

方法二：如圖，

以點(diǎn)A在面BCD的射影O為坐標(biāo)原點(diǎn)，有向直線OA為z軸，有向直線BF為y軸，x軸為過點(diǎn)O與DC平行的有向直線.

因為正四面體ABCD的棱長為1，所以可以求出各點(diǎn)的坐標(biāo)依次為：

O（0,0,0），A（0,0,），B（0,,0）

C（），D（），

E（），F(xiàn)（）

（Ⅰ）因為

又，

所以所以EF與BC所成角的大小是60°.

（Ⅱ）因為，

設(shè)平面ACD的一個法向量為，

由

因為，

所以點(diǎn)O到平面ACD的距離等于

（Ⅲ）因為，

設(shè)平面ABD的一個法向量為，

由，可得一個法向量

同理可以求出平面BEF的一個法向量為

因為

所以

所以二面角A―BE―F的大小為