Question

已知橢圓C：（a>b>0）兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離為2，且其離心率為。
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若F為橢圓C的右焦點(diǎn)，經(jīng)過橢圓的上頂點(diǎn)B的直線與橢圓另一個(gè)交點(diǎn)為A，且滿足，求△ABF外接圓的方程。

Answer 1

解：（1）∵2c=2，
∴c=1，
∴
橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是。
（2）由已知可得B（0，1），F(xiàn)（1，0），
設(shè)A（x₀，y₀），則，
∵
∴x₀-（y₀-1）=2，即x₀=1+y₀，
代入，得或
即A（0，-1）或
當(dāng)A為（0，-1）時(shí)，|OA|=|OB|=|OF|=1，
△ABF的外接圓是以O(shè)為圓心，以1為半徑的圓，該外接圓的方程為x²+y²=1；
當(dāng)A為時(shí)，k_BF=-1，k_AF=1，
所以△ABF是直角三角形，其外接圓是以線段BA為直徑的圓，
由線段BA的中點(diǎn)以及可得△ABF的外接圓的方程為
綜上所述，△ABF的外接圓的方程為x²+y²=1或。