Question

已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的離心率為，以原點(diǎn)O為圓心，以橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線x-y+=0相切；若直線l：y=kx+m與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)．直線OA和OB的斜率分別為k_OA和k_OB，且k_OA•k_OB=-．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求證：△OAB的面積為定值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由橢圓的離心率為，圓心到直線x-y+=0的距離等于b及c²=a²-b²聯(lián)立方程組求解a²，b²，則橢圓的方程可求；
（2）把直線l的方程和橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出直線和橢圓兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和與積，代入直線方程求出兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)的積，結(jié)合k_OA•k_OB=-得到k與m的關(guān)系，借助于弦長公式求出|AB|的長度，由點(diǎn)到直線的距離公式求出O到直線y=kx+m的距離，寫出三角形AOB的面積后轉(zhuǎn)化為含有k的代數(shù)式，整理后得到結(jié)果為定值．
解答：（1）解：由題意得，解得a²=4，b²=3．
所以橢圓的方程為；
（2）證明：設(shè)A（x₁，y₁），（x₂，y₂），則A，B的坐標(biāo)滿足，
整理得，（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0．
∴，．
由△＞0，得4k²-m²+3＞0．
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=
==．
∵，∴，即，
∴，即2m²-4k²=3．
∵=
=．
O到直線y=kx+m的距離d=，
∴
==．為定值．
點(diǎn)評：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn)，主要涉及位置關(guān)系的判定，弦長問題、最值問題、對稱問題、軌跡問題等．突出考查了數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法．屬難題．