Question

如圖：四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，且∠DAB=90°，E為SD的中點(diǎn)，SA⊥平面ABCD，且AB=1，SA=AD=CD=2．延長(zhǎng)DA，與CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M．
（Ⅰ）求四棱錐S-ABCD的體積；
（Ⅱ）求證：AE∥平面SBC；
（Ⅲ）求證：平面SMC⊥平面SCD．

Answer 1

分析：（I）由SA⊥平面ABCD，得SA是四棱錐的高．利用四棱錐的體積計(jì)算公式即可得到；
（II）取SC的中點(diǎn)F，連接EF，BF，利用三角形的中位線定理可得EF∥DC且EF=

1

2

DC，再利用已知DC∥AB，AB=

1

2

DC四邊形EFBA為平行四邊形，于是AE∥BF，再利用線面平行的判定定理即可證明；
（III）由SA⊥平面ABCD，則SA⊥CD，又AD⊥CD，利用線面垂直的判定定理可得CD⊥平面SAD，從而CD⊥SM．再證明且A=AD=AM=2，所以三角形SMD為等腰直角三角形，且SD⊥SM．從而SM⊥平面SCD．

解答：（I）解：∵SA⊥平面ABCD，∴SA是四棱錐的高．
又S_直角梯形=

(AB+DC)

2

×AD，
∴V=

1

3

S梯形ABCD•SA=

1

3

×

1

2

×(1+2)×2×2=2，
證明：（Ⅱ）取SC的中點(diǎn)F，連接EF，BF，
則EF∥DC且EF=

1

2

DC，
又DC∥AB，AB=

1

2

DC．
∴EF

∥

.

AB．
故四邊形EFBA為平行四邊形，
從而AE∥BF，
所以AE∥平面SBC．
（Ⅲ）∵SA⊥平面ABCD，則SA⊥CD，又AD⊥CD，
故CD⊥平面SAD，從而CD⊥SM．
DA與CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，且

AB

DC

=

1

2

，則A為MD的中點(diǎn)，
又SA⊥MD，且SA=AD=AM=2
所以三角形SMD為等腰直角三角形，且SD⊥SM．
而CD，SD是平面SCD內(nèi)的兩條相交直線，從而SM⊥平面SCD．
所以平面SMC⊥平面SCD．

點(diǎn)評(píng)：本題考查本題主要考察空間線面平行和面面垂直判定性質(zhì)定理的知識(shí)以及棱錐的體積等基礎(chǔ)知識(shí)，充分考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力．