Question

函數(shù)f（x）=-ax²+4x+1的定義域為[-1，2]，
（1）若a=2，求函數(shù)f（x）的值域；
（2）若a為非負(fù)常數(shù)，且函數(shù)f（x）是[-1，2]上的單調(diào)函數(shù)，求a的范圍及函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)a=2時，f（x）=-2x²+4x+1=-2（x-1）²+3，當(dāng)x∈[-1，1]時，f（x）單調(diào)遞增，當(dāng)x∈[1，2]時，f（x）單調(diào)遞減，故可求函數(shù)f（x）的值域；
（2）分類討論：當(dāng)a=0時，f（x）=4x+1，在[-1，2]內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)a＞0時，根據(jù)函數(shù)f（x）是[-1，2]上的單調(diào)函數(shù)，可確定0＜a≤1時，f（x）在[-1，2]內(nèi)單調(diào)遞增，從而可求函數(shù)的值域及a的范圍

解答：解：（1）當(dāng)a=2時，f（x）=-2x²+4x+1=-2（x-1）²+3                    …（2分）
當(dāng)x∈[-1，1]時，f（x）單調(diào)遞增，當(dāng)x∈[1，2]時，f（x）單調(diào)遞減，
f（x）_max=f（1）=3，
又∵f（-1）=-5，f（2）=1，
∴f（x）_min=f（-1）=-5，
∴f（x）的值域為[-5，3]…（6分）
（2）當(dāng)a=0時，f（x）=4x+1，在[-1，2]內(nèi)單調(diào)遞增，…（7分）
當(dāng)a＞0時，f（x）=-a(x-

2

a

)2+1+

4

a

，…（8分）
又f（x） 在[-1，2]內(nèi)單調(diào)
∴

2

a

≤-1或

2

a

≥2
∴-2≤a＜0或0＜a≤1
∵a＞0
∴0＜a≤1，此時函數(shù)在[-1，2]內(nèi)單調(diào)遞增
綜上：當(dāng)0≤a≤1時，f（x）在[-1，2]內(nèi)單調(diào)遞增，
∵f（x）_min=f（-1）=-a-3，f（x）_max=f（2）=-4a+9，
∴值域為[-a-3，-4a+9]
故a的取值范圍是[0，1]，f（x）值域為[-a-3，-4a+9]-----（12分）

點評：本題以二次函數(shù)為載體，考查函數(shù)的值域，考查函數(shù)的單調(diào)性，掌握二次函數(shù)值域研究的方法，明確函數(shù)的單調(diào)性與對稱軸的關(guān)系是關(guān)鍵