Question

設(shè)函數(shù)f（x）=sinxcosx+cos²x+a
（I）寫出函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；
（II）當(dāng)x∈時(shí)，函數(shù)f（x）的最大值與最小值的和為，解不等式f（x）＞1．

Answer 1

【答案】分析：由正余弦的倍角公式及正弦的和角公式把函數(shù)轉(zhuǎn)化為y=Asin（ωx+φ）+B的形式；
（I）由y=Asin（ωx+φ）+B的性質(zhì)易于解決；
（II）當(dāng)x∈時(shí)，先表示出f（x）的最值，再解得a，最后結(jié)合正弦函數(shù)的圖象解得答案．
解答：解：f（x）=sinxcosx+cos²x+a
=
=sin（2x+）+a+
（I）所以T=．
由，得．
所以f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是[]（k∈Z）．
（II）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024185931690031269/SYS201310241859316900312016_DA/9.png">，所以，
所以．
當(dāng)x時(shí)，f（x）_max+f（x）_min=（1+a+）+（-+a+）=，
解得a=0，所以f（x）=sin（2x+）+．
由f（x）＞1得，
所以
解得．
點(diǎn)評：本題考查倍角公式、和角公式及函數(shù)y=Asin（ωx+φ）+B的性質(zhì)，同時(shí)考查轉(zhuǎn)化思想．