Question

已知?jiǎng)訄AP過(guò)點(diǎn)N（2，0）并且與圓M：(x+2）²+y²=4相外切，動(dòng)圓圓心P的軌跡為W，過(guò)點(diǎn)N的直線(xiàn)與軌跡W交于A、B兩點(diǎn)。
（Ⅰ）求軌跡W的方程；
（Ⅱ）若，求直線(xiàn)的方程；
（Ⅲ）對(duì)于的任意一確定的位置，在直線(xiàn)x=上是否存在一點(diǎn)Q，使得，并說(shuō)明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）依題意可知，
∴，
∴點(diǎn)P的軌跡W是以M、N為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)的右支，
設(shè)其方程為，
則a=1，c=2，∴，
∴軌跡W的方程為。
（Ⅱ）當(dāng)的斜率不存在時(shí)，顯然不滿(mǎn)足，故的斜率存在，
設(shè)的方程為，
由得，
又設(shè)，
則，
由①②③，解得：，
∵，
∴，
∴，
代入①②，得，，
消去x₁，得，即，
故所求直線(xiàn)的方程為。
 （Ⅲ）問(wèn)題等價(jià)于判斷以AB為直徑的圓是否與直線(xiàn)x=有公共點(diǎn)，若直線(xiàn)的斜率不存在，則以AB為直徑的圓為，可知其與直線(xiàn)x=相交；
若直線(xiàn)的斜率存在，則設(shè)直線(xiàn)的方程為，，
由（Ⅱ）知且，
又N（2，0）為雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)，雙曲線(xiàn)的離心率e=2，
則，
設(shè)以AB為直徑的圓的圓心為S，點(diǎn)S到直徑x=的距離為d，則
，
∴，
∵，
∴，即，即直線(xiàn)與圓S相交，
綜上所述，以線(xiàn)段AB為直徑的圓與直線(xiàn)相交；
故對(duì)于的任意一確定的位置，在直線(xiàn)上存在一點(diǎn)Q（實(shí)際上存在兩點(diǎn)）使得。