Question

如圖所示，正方形與直角梯形所在平面互相垂直，，， .

(1)求證：平面；
(2)求四面體的體積.

Answer 1

(1)證明：見(jiàn)解析；（2）四面體的體積.

試題分析：（1）設(shè)正方形ABCD的中心為O，取BE中點(diǎn)G，連接FG，OG，由中位線定理，我們易得四邊形AFGO是平行四邊形，即FG∥OA，由直線與平面平行的判定定理即可得到AC∥平面BEF；
（2）由已知中正方形ABCD與直角梯形ADEF所在平面互相垂直，∠ADE=90°，我們可以得到AB⊥平面ADEF，結(jié)合DE=DA=2AF=2．分別計(jì)算棱錐的底面面積和高，代入棱錐體積公式即可求出四面體BDEF的體積．（1）的關(guān)鍵是證明出FG∥OA，（2）的關(guān)鍵是得到AB⊥平面ADEF，即四面體BDEF的高為AB．
試題解析：(1)證明：設(shè)，取中點(diǎn)，
連結(jié)，所以，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824030448494481.png" style="vertical-align:middle;" />，，所以，
從而四邊形是平行四邊形，.             2分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824030448619339.png" style="vertical-align:middle;" />平面,平面,                4分
所以平面，即平面.           6分
（2）解：因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824030448728417.png" style="vertical-align:middle;" />平面，,
所以平面.                                  8分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824030448494481.png" style="vertical-align:middle;" />,,，
所以的面積為，                    10分
所以四面體的體積.           12分