Question

已知函數(shù)，且f（1）=2，
（1）求a、b的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（3）判斷f（x）在（1，+∞）上的單調(diào)性并加以證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）依題意有，聯(lián)立方程可求a，b
（2）先判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，然后檢驗(yàn)f（-x）與f（x）的關(guān)系即可
（3）設(shè)x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂…，然后通過(guò)作差，變形比較f（x₁），f（x₂）的大小即可判斷函數(shù)的單調(diào)性
解答：解：（1）依題意有，…（2分）    
 得…（4分）
（2）的定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，…（5分）
∵
∴函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．             …（7分）
（3）f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，證明如下
設(shè)x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂…（8分）

∵x₁，x₂∈（1，+∞）且x₁＜x₂∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞1，x₁x₂-1＞0…（12分）
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）…（13分）
∴f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)．    …（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利益待定系數(shù)法求解函數(shù)的解析式，及函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的判斷，屬于函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)的綜合應(yīng)用．