Question

在長方體AC₁中，AA₁=AD=2，AB=4，M、N分別是AB與BC的中點，則直線A₁M與C₁N的位置關(guān)系是______； 它們所成角的大小是______；點A到對角線B₁D的距離是______．

Answer 1

長方體如圖所示：



①連接A₁C₁，MN，
因為在長方體AC₁中，M、N分別是AB與BC的中點，
所以MN∥A₁C₁，并且MN=

1

2

A₁C₁，
所以直線A₁M與C₁N相交，
所以直線A₁M與C₁N的位置關(guān)系是：相交．
②取A₁B₁，B₁C₁的中點分別為E，F(xiàn)，連接BE，NF，
因為M，E分別為AB，A₁B₁的中點，
所以BE∥A₁M，同理BF∥C₁N，
所以∠EBF與所求角相等或者互補．
因為在長方體AC₁中，AA₁=AD=2，AB=4，
所以在△BEF中有：BE=2

2

，BF=

5

，EF=

5

，
所以cos∠EBF=

10

5

，
所以直線A₁M與C₁N所成角的大小是arccos

10

5

．
③設(shè)點A到對角線B₁D的距離是 h，
根據(jù)長方體的結(jié)構(gòu)特征可得：AB1⊥AD，
所以△AB₁D為直角三角形，并且AD=2，AB₁=2

5

，B₁D=2

6

，
所以根據(jù)等面積法可得：h=

AD?AB1

B1D

=

30

3

．
故答案為：相交；arccos

10

5

；

30

3

．