Question

已知：數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=3且當(dāng)n≥2n∈N₊滿足S_n-1是a_n與-3的等差中項(xiàng)．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得出a_n=2S_n-1+3，然后代入即可求出a₂，a₃，a₄；
（2）由（1）知a_n=2S_n-1+3進(jìn)而求出a_n+1=2S_n+3，然后兩式相減得出a_n+1=3a_n，再驗(yàn)證a₂=3a₁也滿足上式即可得出數(shù)列是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，得出通項(xiàng)公式．
解答：解：（1）由題知，S_n-1是a_n與-3的等差中項(xiàng)．∴2S_n-1=a_n-3即a_n=2S_n-1+3（n≥2，n∈N^*）…（2分）a₄=2S₃+3=2（a₁+a₂+a₃）+3=81…（6分）
（2）由a_n=2S_n-1+3（n≥2，n∈N^*）①a_n+1=2S_n+3（n∈N^*）②…（7分）
②-①得a_n+1-a_n=2（S_n-S_n-1）=2a_n
即a_n+1=3a_n（n≥2，n∈N^*）③…（10分）∵a₂=3a₁也滿足③式   
即a_n+1=3a_n（n∈N^*）∴{a_n}是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列．
∴a_n=3ⁿ（n∈N^*）…（12分）
點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和綜合應(yīng)用，解題要認(rèn)真審題，注意驗(yàn)證a₂=3a₁也滿足上式．屬于中檔題．