Question

已知函數(shù)f(x)=lg(a^x－b^x)(常數(shù)a>1>b>0)。

（1）求f(x)的定義域，并證明函數(shù)在定義域內(nèi)是增函數(shù)；

（2）證明：在函數(shù)y=f(x)的圖象上不存在不同的兩點，使過此兩點的直線平行于x軸；

（3）當a、b滿足什么關(guān)系時，f(x)在[1，+∞）上恒取正值？

 

Answer 1

答案：
解析：

（1）由ax－bx>0，得ax>bx。 ∵bx>0，∴()x>1。 又a>1>b>0，∴>1，從而x>0，即函數(shù)的定義域為（0，+∞）。設x1>x2>0， ∵a>1>b>0，∴ax1>ax2，bx1<bx2，從而ax1－bx1>ax2－bx2>0.∴lg(ax1－bx1)>lg(ax2－bx2)， 即f(x1)>f(x2)。 ∴f(x)在（0，+∞）上為增函數(shù)。 （2）假若函數(shù)y=f(x)的圖象上存在不同的兩點A（x1，y1）、B（x2，y2），使直線AB平行于x軸，則必有y1=y2，且x1≠x2。不妨設0<x1<x2，則由f(x)在（0，+∞）上是增函數(shù)知f(x1)<f(x2)，即y1<y2，這與y1=y2相矛盾。 綜上知，函數(shù)y=f(x)的圖象上不存在不同的兩點，使過此兩點的直線平行于x軸。 （3）要使f(x)在[1，+∞）上恒取正值，即使不等式f(x)=lg(ax－bx)>0在x∈[1，+∞)上恒成立。 由（1）知，f(x)在[1，+∞）上是增函數(shù)，∴只需f(1)>0，即lg(a－b)>0，∴a－b>1，a>b+1時，f(x)在[1，+ ∞)恒取正值。