Question

若直線2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）始終平分圓x²+y²+2x-2y+1=0的面積，則

ab

a+b

的最大值為

6-4

2

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，求出圓的圓心坐標(biāo)，又由直線始終平分圓的面積，則直線過圓心，將圓心坐標(biāo)代入直線方程，變形可得2a+b=2，由基本不等式求出

1

a

+

1

b

的最小值，又由

ab

a+b

=

1

1 a + 1 b

，分析可得

ab

a+b

的最大值，即可得答案．

解答：解+根據(jù)題意，圓的一般方程為x²+y²+2x-2y+1=0，則其圓心坐標(biāo)為（-1，1），
又由直線2ax-by+2=0始終平分圓x²+y²+2x-2y+1=0的面積，
則直線過圓心，所以有2a×（-1）-b×1+2=0，變形可得2a+b=2；
則有

1

a

+

1

b

=

1

2

×（2a+b）×（

1

a

+

1

b

）=

1

2

×（3+

2a

b

+

b

a

），
又由a＞0，b＞0，

2a

b

＞0，且

b

a

＞0，則有

2a

b

+

b

a

≥2

2a b × b a

=2

2

，
則

1

a

+

1

b

=

1

2

×（3+

2b

a

+

a

b

）≥

3+2 2

2

，
又由

ab

a+b

=

1

1 a + 1 b

，則

ab

a+b

=

1

1 a + 1 b

≤

1

3+2 2 2

=6-4

2

，
即

ab

a+b

的最大值為6-4

2

；
故答案為6-4

2

．

點(diǎn)評：本題考查直線與圓的位置關(guān)系以及基本不等式的運(yùn)用，難點(diǎn)是利用

ab

a+b

=

1

1 a + 1 b

的關(guān)系，關(guān)鍵是分析得到直線2ax-by+2=0過圓的圓心．