Question

已知f（x）=（

x

+

2

）²（x≥0），又數列{a_n}（a_n＞0）中，a₁=2，這個數列的前n項和的公式S_n（n∈N^*）對所有大于1的自然數n都有S_n=f（S_n-1）．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=

an+12+an2

2an+1an

（n∈N^*），求證

lim

n→∞

（b₁+b₂+…+b_n-n）=1．

Answer 1

分析：（1）由于已知條件給出的是S_n與S_n-1的函數關系，而要求的是a_n的通項公式，故關鍵是確定S_n．知道S_n后，能夠導出數列{a_n}的通項公式．
（2）由b_n=

an+12+an2

2an+1an

=1+

1

2n-1

-

1

2n+1

，知b₁+b₂+b₃++b_n-n=1-

1

2n+1

．從而能夠導出

lim

n→∞

（b₁+b₂+…+b_n-n）=1．

解答：解：（1）∵f（x）=（

x

+

2

）²，
∴S_n=（

Sn-1

+

2

）²．
∴

Sn

-

Sn-1

=

2

．又

a1

=

2

，
故有

Sn

=

2

+（n-1）

2

=n

2

，
即S_n=2n²（n∈N^*）．
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2n²-2（n-1）²=4n-2；
當n=1時，a₁=2，適合a_n=4n-2．
因此，a_n=4n-2（n∈N^*）．
（2）∵b_n=

an+12+an2

2an+1an

=1+

1

2n-1

-

1

2n+1

，
∴b₁+b₂+b₃++b_n-n=1-

1

2n+1

．
從而

lim

n→∞

（b₁+b₂++b_n-n）=

lim

n→∞

（1-

1

2n+1

）=1．

點評：本題考查數列的極限及其應用，解題時要注意數列的性質的靈活運用．