Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知兩點(diǎn)F₁（-6，0）、F₂（6，0），點(diǎn)P位于第一象限，且，tan∠PF₂F₁=2．
（1）求以F₁、F₂為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)P的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求以F₁、F₂為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)P的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題意設(shè)出所求的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后代入半焦距，求出a，b．最后寫(xiě)出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）根據(jù)題意設(shè)出所求的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后代入半焦距，求出a₁，b₁．最后寫(xiě)出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程．
解答：解：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知兩點(diǎn)F₁（-6，0）、F₂（6，0），
且，tan∠PF₂F₁=2．
∴P（5，2），如圖．
（1）由題意可設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
（a＞b＞0），
其半焦距c=6

∴，b²=a²-c²=9．
所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
（2）點(diǎn)P（5，2）、F₁（-6，0）、F₂（6，0）
設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為
由題意知，半焦距
c₁=6 ，
b₁²=c₁²-a₁²=36-20=16．
所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查橢圓與雙曲線的基本概念、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算能力．屬于中檔題．