Question

對(duì)于正整數(shù)n，數(shù)列a₁，a₂，…，a_k在滿足下列條件下稱為關(guān)于（1，2，3，…，n）的萬能數(shù)列：自然數(shù)1，2，3，…，n的任意一個(gè)排列都能從數(shù)列a₁，a₂，…，a_k中去掉一些項(xiàng)后得到．
（1）構(gòu)造一個(gè)有n²項(xiàng)的關(guān)于（1，2，3，…，n）的萬能數(shù)列的例子，并證明；
（2）構(gòu)造一個(gè)有n²-n+1個(gè)項(xiàng)的關(guān)于（1，2，3，…，n）的萬能數(shù)列的例子并證明；
（3）判斷數(shù)列A：是否是關(guān)于（1，2，3，…，n）的萬能數(shù)列，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）舉出數(shù)列，利用有關(guān)萬能數(shù)列的定義加以證明．
（2）舉出數(shù)列，分該排列中不存在數(shù)字b_i，b_i+1滿足 b_i＜b_i+1（1≤i＜n-1）和該排列中存在b_i，b_i+1滿足 b_i＜b_i+1（1≤i＜n-1兩類，利用萬能數(shù)列的定義加以證明．
（3）利用能數(shù)列的定義結(jié)合（2）的證明判斷出數(shù)列為萬能數(shù)列，再利用萬能數(shù)列的定義加以證明．

解答：解：（1）     …3分
顯然在上述數(shù)列中，對(duì)于1，2，3，…，n的任意一個(gè)排列的第k個(gè)位置上的數(shù)字，總能在該數(shù)列的第k段中找到…4分
（2）…6分
把1，2，3，…，n的一個(gè)排列，由左到右構(gòu)成的數(shù)列記作{b_k}
①若該排列中不存在數(shù)字b_i，b_i+1滿足 b_i＜b_i+1（1≤i＜n-1），則b₁＞b₂＞…＞b_n
顯然這個(gè)排列在上述數(shù)列中可以找到…7分
②若該排列中存在b_i，b_i+1滿足 b_i＜b_i+1（1≤i＜n-1，則在上述數(shù)列中的第i組留下b_i，b_i+1，其余的都去掉，其余的各組留下排列中相應(yīng)的數(shù)就可以得到這一排列
綜上討論可得該數(shù)列為1，2，3，…，n的萬能數(shù)列．…9分
（3）數(shù)列A是萬能數(shù)列
由（2）的證明可知，數(shù)列A中從首相之后到倒數(shù)第二項(xiàng)之前的這些項(xiàng)，是一個(gè)關(guān)于（1，2，3，…，n-1）的萬能數(shù)列
所以以n為首項(xiàng)或末項(xiàng)的任何一個(gè)排列都可以從數(shù)列A中劃去一些項(xiàng)而得到
設(shè)a₁，a₂，…，a_r，a_r+1，…，a_n是關(guān)于自然數(shù)1，2，3，…，n的一個(gè)排列，且a_r=n，1＜r＜n
把數(shù)列A中第r個(gè)n之前和之后的所有n都劃掉，則在含第r個(gè)n之前的數(shù)為

因?yàn)閍₁，a₂，…，a_r-1中最小一項(xiàng)的最大值為n-r+1，
所以由（2）證明可得在上面這組數(shù)①中劃掉一些項(xiàng)可得a₁，a₂，…，a_r-1
在含第r個(gè)n之后的數(shù)為
由（2）證明可得，若a_r+1，a_r+2，…，a_n中最小值為1，2，顯然a_r+1，a_r+2，…，a_n可以通過劃掉一些項(xiàng)得到．
若a_r+1，a_r+2，…，a_n中最小值為大于2，此時(shí)a_r+1，a_r+2，…，a_n中最大的數(shù)的最小值為n-r+2，
所以由（2）證明可得在上面一組數(shù)②中劃掉一些項(xiàng)可得a_r+1，a_r+2，…，a_n．
所以數(shù)列A是關(guān)于（1，2，3，…，n）的萬能數(shù)列．

點(diǎn)評(píng)：本題考查對(duì)題中的新定義進(jìn)行理解，是一道新定義題，這種題型是近幾年�？嫉念}型．