Question

f（x）=ax³-3x（a＞0）對(duì)于x∈[0，1]總有f（x）≥-1成立，則a的范圍為

 

．

Answer 1

分析：本題是關(guān)于不等式的恒成立問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題來(lái)求解，先對(duì)x分類(lèi)討論：x=0與x≠0，當(dāng)x≠0即x∈（0，1]時(shí)，得到：a≥

3x-1

x3

，構(gòu)造函數(shù)g(x)=

3x-1

x3

，只需需a≥[g（x）]_max，于是可以利用導(dǎo)數(shù)來(lái)求解函數(shù)g（x）的最值．

解答：解：∵x∈[0，1]總有f（x）≥-1成立，
即ax³-3x+1≥0，x∈[0，1]恒成立
當(dāng)x=0時(shí)，要使不等式恒成立則有a∈（0，+∞）
當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，ax³-3x+1≥0恒成立，
即有：a≥

3x-1

x3

在x∈（0，1]上恒成立，令g(x)=

3x-1

x3

，必須且只需a≥[g（x）]_max
由g′(x)=

3(1-2x)

x4

＞0得，x＜

1

2

所以函數(shù)g（x）在（0，

1

2

]上是增函數(shù)，在[

1

2

，1]上是減函數(shù)，所以[g(x)]max=g(

1

2

)=4，即a≥4
綜合以上可得：a≥4．
答案為：[4，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，含參數(shù)的不等式恒成立為題，方法是轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)閉區(qū)間上的最值問(wèn)題，考查了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法．